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第18讲 数学方法选讲(下)


   作者:蓝忠诚 发表时间-22 :4:18  阅读( 10 )| 评论( 0 )

第18数学方法选讲(下)四、从反面考虑

  解数学题,需要正确的思路。对于很多数学问题,通常采用正面求解的思路,即从条件出发,求得结论。但是,如果直接从正面不易找到解题思路时,则可改变思维的方向,即从结论入手或从条件及结论的反面进行思考,从而使问题得到解决。

  例1 某次数学测验一共出了10道题,评分方法如下:

  每答对一题得4分,不答题得0分,答错一题倒扣1分,每个考生预先给10分作为基础分。问:此次测验至多有多少种不同的分数?

  分析:最高的得分为50分,最低的得分为0分。但并不是从0分到50分都能得到。

  从正面考虑计算量较大,故我们从反面考虑,先计算有多少种分数达不到,然后排除达不到的分数就可以了。

  解:最高的得分为50分,最低的得分为0分。在从0分到50分这51个分数中,有49,48,47,44,43,39这6种分数是不能达到的,故此次测验不同的分数至多有51-6=45(种)。

  例2 一支队伍的人数是5的倍数,且超过1000人。若按每排4人编队,则最后差3人;若按每排3人编队,则最后差2人;若按每排2人编队,则最后差1人。问:这支队伍至少有多少人?

  分析:从条件“若按每排4人编队,则最后差3人”的反面来考虑,可理解为“若按每排4人编队,则最后多1人”。同理,按3人、2人排队都可理解为多1人。即总人数被12除余1。这样一来,原题就化为:

  一个5的倍数大于1000,且它被12除余1。问:这个数最小是多少?

  解:是5的倍数且除以12余1的最小自然数是25。因为人数超过1000,[3,4,5]=60,所以最少有

  25+60×17=1045(人)。

  例3 在八边形的8个顶点上是否可以分别记上数1,2,…,8,使得任意三个相邻的顶点上的数的和大于13?

  解:将八边形的8个顶点上的数依次记为a1,a2,a3,…,a8,则有S=a1+a2+a3+…+a8=1+2+3+…+8=36。

  假设任意3个相邻顶点上的数都大于13,因为顶点上的数都是整数,所以

  a1+a2+a3≥14;

  a2+a3+a4≥14;

  ……

  a7+a8+a1≥14;

  a8+a1+a2≥14。

  将以上 8个不等式相加,得3S≥112,从而 S> 37,这与S=36矛盾。故结论是否定的。

  例4 有一个1000位的数,它由888个1和112个0组成,这个数是否可能是一个平方数?

  解:假设这个数为A,它是自然数a的平方。

  因为A的各位数字之和888是3的倍数,所以a也应是3的倍数。于是a的平方是9的倍数,但888不是9的倍数,这样就产生了矛盾,从而A不可能是平方数。

五、从特殊情况考虑

  对于一个一般性的问题,如果觉得难以入手,那么我们可以

  先考虑它的某些特殊情况,从而获得解决的途径,使问题得以“突破”,这种方法称为特殊化。

  对问题的特殊情况进行研究,一方面是因为研究特殊情况比研究一般情况较为容易;另一方面是因为特殊的情况含有一般性,所以对特殊情况的研究常能揭示问题的结论或启发解决问题的思路,它是探索问题的一种重要方法。

  运用特殊化方法进行探索的过程有两个步骤,即先由一般到特殊,再由特殊到一般。通过第一步骤得到的信息,还要回到一般情况予以解答。

  例5 如左下图,四边形ABCD和EFGH都是正方形,且边长均为2cm。又E点是正方形 ABCD的中心,求两个正方形公共部分(图中阴影部分)的面积S。

  分析:我们先考虑正方形EFGH的特殊位置,即它的各边与正方形ABCD的各边对应平行的情况(见右上图)。此时,显然有

  得出答案后,这个问题还得回到一般情况下去解决,解决的方法是将一般情况变成特殊情况。

解:自E向AB和AD分别作垂线EN和EM(右图),则有

  S=S△PME+S四边形AMEQ

  又S△PME=S△EQN,故

     S=S△EQN+S四边形AMEQ

      =S正方形AMEN

        

  例6 是否在平面上存在这样的40条直线,它们共有365个交点?

  分析与解:先考虑一种特殊的图形:围棋盘。它有38条直线、361个交点。我们就从这种特殊的图形出发,然后进行局部的调整。

  先加上2条对角线,这样就有40条直线了,但交点仍然是361个。再将最右边的1条直线向右平移1段,正好增加了4个交点(见上图)。于是,我们就得到了有365个交点的40条直线。

  例7 如右图,正方体的8个顶点处标注的数字为a,b,c,d,e,

  求(a+b+c+d)-(e+f+g+h)的值。

  分析:从这8个数都相等的特殊情况入手,它们满足题目条件,从而得所求值为0。这就启发我们去说明a+b+c+d=e+f+g+h。

解:由已知得

  3a=b+e+d,3b=a+c+f,

  3c=b+d+g,3d=a+c+h,

  推知

  3a+3b+3c+3d=2a+2b+2c+2d+e+f+g+h,

  a+b+c+d=e+f+g+h,

  (a+b+c+d)-(e+f+g+h)=0。

8 将n2个互不相等的数排成下表:

a11  a12 a13 … a1n

a21  a22 a23 … a2n

an1 an2 an3 … ann

  先取每行的最大数,得到n个数,其中最小数为x;再取每列的最小数,也得到n个数,其中最大数为y。试比较x和y的大小。

  分析:先讨论n=3的情况,任取两表:

  1  3 7  1 2 3

  2 5 6  4 5 6

  8 9 4  7 8 9

  左上表中x=6,y=4;右上表中x=3,y=3。两个表都满足x≥y,所以可以猜想x≥y。

解:设x是第i行第j列的数aij,y是第l行第m列的数alm。考虑x所在的行与y所在的列交叉的那个数,即第i行第m列的数aim。显然有aij≥aim≥alm,当i=l,j=m时等号成立,所以x≥y。

六、有序化

  当我们研究的对象是一些数的时候,我们常常将这些数排一个次序,即将它们有序化。有序化的假设,实际上是给题目增加了一个可供使用的条件。

  例9 将10到40之间的质数填入下图的圆圈中,使得3组由“→”所连的4个数的和相等,如果把和数相等的填法看做同一类填法,请说明一共有多少类填法?并画图表示你的填法。

  解:10到40之间的8个质数是

  11,13,17,19,23,29,31,37。

  根据题目要求,除去最左边和最右边的2个质数之外,剩下的6个质数在同一行的2个质数的和应分别相等,等于这6个数中最小数(记为a)与最大数(记为b)之和a+b。根据a,b的大小可分为6种情况:

  当a=11,b=29时,无解;

  当a=11,b=31时,有11+31=13+29=19+23,得到如下填法:

  当a=11,b=37时,有11+37=17+31=19+29,得到如下填法:

  当a=13,b=31时,无解;

  当a=13, b=37时,无解;

  当a=17,b=37时,无解。

  所以,共有2类填法。

  例10 有四个互不相等的数,取其中两个数相加,可以得到六个和:24,28,30,32,34,38。求此四数。

  解:设四个数为a,b,c,d,且a<b<c<d,则六个和为a+b,a+c,a+d,b+c,b+d,c+d,其中a+b最小,a+c次小,c+d最大,b+d次大,a+d与b+c位第三和第四。

  

  分别解这两个方程组,得

       

  例11 互不相等的12个自然数,它们均小于36。有人说,在这些自然数两两相减(大减小)所得到的差中,至少有3个相等。你认为这种说法对吗?为什么?

  解:设这12个自然数从小到大依次为a1,a2,a3,…,a12,且它们两两相减最多只有2个差相等,那么差为1,2,3,4,5的都最多只有2个。从而

  a12-a11,a11-a10,a10-a9,…,a2-a1,

  这11个差之和至少为

  2×(1+2+3+4+5)+6=36,

  但这11个差之和等于a12-a1<36。这一矛盾说明,两两相减的差中,至少有3个相等。

  例12 有8个重量各不相同的物品,每个物品的重量都是整克数且都不超过15克。小平想以最少的次数用天平称出其中最重的物品。他用了如下的测定法:

  (1)把8个物品分成2组,每组4个,比较这2组的轻重;

  (2)把以上2组中较重的4个再分成2组,即每组2个,再比较它们的轻重;

  (3)把以上2组中较重的分成各1个,取出较重的1个。

  小平称了3次天平都没有平衡,最后便得到一个物品。

  可是实际上得到的是这8个物品当中从重到轻排在第5的物品。

  问:小平找出的这个物品有多重?并求出第二轻的物品重多少克?

  解:设这8个物品的重量从重到轻依次排列为:

  15≥a1>a2>a3>a4>a5>a6>a7>a8≥1。

  小平找出的这个物品重量为a5,第二轻的物品重量为a7。

  由于a5加上一个比它轻的物品不可能大于两个比a5重的物品重量之和,因而第一次必须筛去3个比a5重的物品。

  这样就有以下四种可能:

    

  先考虑第一种情况。根据①式,a4比a1至少轻3克,a5比a2,a6比a3也都至少轻3克,则a7比a8至少重 10克。根据②式,a5比a4至少轻1克,则a6比a7至少重 18克。与已知矛盾,第一种情况不可能出现。

  按同样的推理方法,可以说明第二种和第三种情况也不可能出现。

  最后,考虑第四种情况。a1比a2至少重1克;a5比a3,a6比a4都至少轻1克,则a7比a8至少重4克。根据④式,a5比a4至少轻4克,则a6比a7至少重5克。这样得到的这8个物品的重量分别为:

  a1=15克, a2=14克, a3=13克, a4=12克,

  a5=11克, a6=10克, a7=5克, a8=1克。

  因此,小平找出的这个物品重11克,第二轻的物品重5克。



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