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练习17解答


   作者:蓝忠诚 发表时间-22 :51:46  阅读( 13 )| 评论( 0 )

练习17解答

  1.有。

  解:当n=2时,方程x1+x2=x1x2有一个自然数解:x1=2,x2=2;

  当n=3时,方程x1+x2+x3=x1x2x3有一个自然数解:x1=1,x2=2,x3=3;

  当n=4时,方程x1+x2+x3+x4=x1x2x3x4有一个自然数解:x1=1,x2=1,x3=2,x4=4。

  一般地,方程

  x1+x2+x3+…+xn-1+xn=x1x2x3…xn-1xn有一个自然数解:x1=1,x2=1,…,xn-2=1,xn-1=2,xn=n。

  2.3508。

  解:仿例3。当有3n个数时,留下的数是1号。

  小于8899的形如3n的数是38=6561,故从1号开始按规则划数,划了8899-6561=2338(个)数后,还剩下6561个数。下一个要划掉的数是2388÷2×3+1=3507,故最后留下的就是3508。

  3.1024。

  解:质数a1有2个约数:1和a,从而A(a1)=2;

  2个质数a1,a2的积有4个约数:1,a1,a2,a1a2,从而

  A(a1×a2)=4=22;

  3个质数a1,a2,a3的积有8个约数:

  1,a1,a2,a3,a1a2,a2a3,a3a1,a1a2a3,

  从而A(a1×a2×a3)=8=23;

  ……

  于是,10个质数a1,a2,…,a10的积的约数个数为

  A(x)=210=1024。

  4.存在。

  提示:如果一个三角形内还有别的点,那么这个点与三角形的三个顶点还能连结,与已“不能再连结”矛盾。

  5.有。

  解:设A和B两人是距离最近的两个小朋友,显然他们应该互射。此时如果有其他的小朋友射向他们中的一个,即A,B中有一人挨了两枪,那么其他三人中必然有一人身上是干的。如果没有其他的小朋友射向A或B,那么我们再考虑剩下的三个人D,E,F:若D,E的距离是三人中最近的,则D,E互射,而F必然射向他们之间的一个,此时F身上是干的。

  6.假设没有4只猴子分的花生一样多,那么至多3只猴子分的花生一样多。我们从所需花生最少情况出发考虑:

  得1粒、2粒、3粒……32粒的猴子各有3只,得33粒花生的猴子有1只,于是100只猴子最少需要分得花生

  3×(0+1+2+…+32)+33=1617(粒),

  现在只有1600粒花生,无法使得至多3只猴子分的花生一样多,故至少有4只猴子分的花生一样多。

  7.一样多。

  提示:从整体看,甲、乙两桶所装的液体的体积没有发生变化。甲桶里有多少酒精,就必然倒出了同样体积的牛奶入乙桶。所以,甲桶中的酒精和乙桶中的牛奶一样多。

  8.奇数。

  解:黑板上开始时所有数的和为

  S=1+2+3+…+1998=1997001,

  是一个奇数,而每一次“操作”,将(a+b)变成了(a-b),实际上减少了2b,即减少了一个偶数。因为从整体上看,总和减少了一个偶数,其奇偶性不变,所以最后黑板上剩下一个奇数

 



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