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第16讲 枚举、归纳与猜想(之一枚举法)


   作者:蓝忠诚 发表时间-9 :49:1  阅读( 13 )| 评论( 0 )

16枚举、归纳与猜想(之一枚举法

一、枚举法

  枚举法起源于原始的计数方法,即数数。关于这方面的例子,我们在第11讲中已介绍过,现在我们从另一角度来利用枚举法解题。当我们面临的问题存在大量的可能的答案(或中间过程),而暂时又无法用逻辑方法排除这些可能答案中的大部分时,就不得不采用逐一检验这些答案的策略,也就是利用枚举法来解题。

  采用枚举法解题时,重要的是应做到既不重复又不遗漏,这就好比工厂里的质量检验员的责任是把不合格产品挑出来,不让它出厂,于是要对所有的产品逐一检验,不能有漏检产品。

  1 一个小于400的三位数,它是平方数,它的前两个数字组成的两位数还是平方数,其个位数也是一个平方数。求这个三位数。

  解:这道题共提出三个条件:

  (1)一个小于400的三位数是平方数;

  (2)这个三位数的前两位数字组成的两位数还是平方数;

  (3)这个三位数的个位数也是一个平方数。

  我们先找出满足第一个条件的三位数:

  100,121,144,169,196,225, 256, 289, 324, 361。

  再考虑第二个条件,从中选出符合条件者:

  169,256,361。最后考虑第三个条件,排除不合格的256,于是找到答案是169和361。

  说明:这里我们采用了枚举与筛选并用的策略,即依据题中限定的条件,面对枚举出的情况逐步排除不符合条件的三位数,确定满足条件的三位数,从而找到问题的答案。

  2哥德巴赫猜想是说:每个大于2的偶数都可以表示为两个质数之和。问:168是哪两个两位数的质数之和,并且其中一个的个位数是1?

  解:168表示成两个两位质数之和,两个质数都大于68。个位是1且大于68的两位数有71,81,91,其中只有71是质数,所以一个质数是71,另一个质数是168-71=97。

  说明:解此题要求同学们记住100以内的质数。如果去掉题目中“其中一个的个位数是1”的条件,那么上述答案不变,仍是唯一的解答。

  如果取消位数的限制,那么还有

  168=5+163,168=11+157,168=17+151,…

  哥德巴赫猜想是1742年提出来的,至今已有250多年的历史了,它是数论中最有名的问题,中外许多著名的数学家都研究过,包括我国著名数学家华罗庚教授。

   3有30枚贰分硬币和8枚伍分硬币,用这些硬币不能构成的1分到1元之间的币值有多少种?

  解:注意到所有的38枚硬币的总币值恰好是100分(即1元),于是除了50分与100分外,其他98种币值可以两两配对,即

  (1,99),(2,98),(3,97),…,(49,51)。

  每一对币值中有一个可用若干枚贰分和伍分硬币构成,则另一个也可以,显然50分和100分的币值是可以构成的,因此只需要讨论币值为1分、2分、3分……49分这49种情况。

  1分和3分的币值显然不能构成。

  2分、4分、6分……48分这24种偶数币值都可以用若干枚贰分硬币构成,因为贰分硬币的总数为30个。

  5分、7分、9分……49分这23种奇数币值,只需分别在4分、6分、8分……48分币值的构成方法上,用1枚伍分硬币换去两枚贰分硬币即可,比如37分币值,由于36分币值可用18枚贰分硬币构成,用1枚伍分硬币换下2枚贰分硬币,所得的硬币值即为37分。

  综合以上分析,不能用若干枚贰分和伍分硬币构成的1分到1元之间的币值只有四种,即1分、3分、97分、99分。

  4一个两位数被7除余1,如果交换它的十位数字与个位数字的位置,所得到的两位数被7除也余1,那么这样的两位数有多少个?都是几?

  

  两式相减,得9(a-b)=7(n-m)。于是7|9(a-b)。因为(7,9)=1,所以7|a-b,得到a-b=0,或a-b=7。

  (1)当a-b=0,即a=b时,在两位数11,22,33,44,55,66,77,88,99中逐一检验,只有22,99符合被7除余1的条件。

  (2)当a-b=7,即a=b+7时,b=1,或b=2。在81,92这二个数中,只有92符合被7除余1的条件。

  因为a,b交换位置也是解,所以符合条件的两位数共有四个,它们是22,29,92及99。

  说明:这里我们把题中限定的条件放宽,分成两类,枚举出每一类的两位数,逐一检验排除不符合条件的两位数,确定符合条件的两位数,从而找到问题的答案。

  此题也可以枚举出被7除余1的所有两位数:

  15,22,29,36,43,50,57,64,71,78,85,92,99,

  再根据题意逐一筛选。

  5把1,2,3,4,5,6分别填入左下图所示的表格内,使得每行相邻的两个数左边的小于右边的,每列的两数上面的小于下面的。问:有几种填法?

  

  解:如右上图,由已知可得a最小,f最大,即a=1,f=6。根据b与d的大小,可分两种情况讨论。

  当b<d时,有b=2,c=3或4或5,可得下列3种填法:

  

  当b>d时,有b=3,d=2,c=4或5,可得下列2种填法:

  

  综上所述,一共有5种填法。

  6今有101枚硬币,其中有100枚同样的真币和1枚伪币,伪币与真币的重量不同,现需弄清楚伪币比真币轻,还是比真币重,但只有一架没有砝码的天平。试问,怎样利用这架天平称两次,来达到目的?

  解:在天平两端各放50枚硬币。

  如果天平平衡,那么所剩一枚为伪币,于是取一枚伪币和一枚真币分放在天平两端,即可判明真币与伪币谁轻谁重。

  如果天平不平衡,那么取下重端的50枚硬币,并将轻端的50枚硬币分放两端各25枚,若此时天平平衡,则说明伪币在取下的50枚硬币中,即伪币比真币重;若此时天平仍不平衡,则说明伪币在较轻的50枚硬币中,即伪币比真币轻。

  在上述解答过程中,我们面临着“平衡”或“不平衡”两种可能的状态,对这两种状态,逐一检验,即得到问题的结论。

  由上述例题可以看出运用枚举法的关键在于:

  (1)如何将整体分解成各个特殊情况,也就是要注意分类的方法,分类必须适合于一一列举和研究,同时分类必须不重也不漏。

  (2)善于对列举的结果进行综合考察(包括筛选),并导出结论。



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