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练习13 解答


   作者:蓝忠诚 发表时间-23 :27:50  阅读( 9 )| 评论( 0 )

练习13 解答

  1.对。解:因为49-3=3×(100-86+1)+1,即46=3×15+1,也就是说,把从100分至86分的15个分数当做抽屉,49-3=46(人)的成绩当做物体,根据第二抽屉原理,至少有4人的分数在同一抽屉中,即成绩相同。

  2.4个。解:18个乒乓球盒,每个盒子里至多可以放6只乒乓球。为使相同乒乓球个数的盒子尽可能少,可以这样放:先把盒子分成6份,每份有18÷6=3(只),分别在每一份的3个盒子中放入1只、2只、3只、4只、5只、6只乒乓球,即3个盒子中放了1只乒乓球,3个盒中放了2只乒乓球……3个盒子中放了6只乒乓球。这样,18个盒子中共放了乒乓球

  (1+2+3+4+5+6)×3=63(只)。

  把以上6种不同的放法当做抽屉,这样剩下64-63=1(只)乒乓球不管放入哪一个抽屉里的任何一个盒子里(除已放满6只乒乓球的抽屉外),都将使该盒子中的乒乓球数增加1只,这时与比该抽屉每盒乒乓数多1的抽屉中的3个盒子里的乒乓球数相等。例如剩下的1只乒乓球放进原来有2只乒乓球的一个盒子里,该盒乒乓球就成了3只,再加上原来装有3只乒乓球的3个盒子,这样就有4个盒子里装有3个乒乓球。所以至少有4个乒乓球盒里的乒乓球数目相同。

  3.34个。

  解:把初二学生的身高厘米数作为抽屉,共有抽屉

  160-150+1=11(个)。

  根据抽屉原理,要保证有4个人身高相同,至少要有初二学生

  3×11+1=34(个)。

  4.证:(1)将100个数分成50组:

  {1,100},{2,99},…,{50,51}。

  在选出的51个数中,必有两数属于同一组,这一组的两数之和为101。

  (2)将100个数分成10组:

  {1,2,4,8,16,32,64}, {3,6,12,24,48,96},

  {5,10,20,40,80}, {7,14,28,56},

  {9,18,36,72}, {11,22,44,88},

  {13,26,52}, {15,30,60},…,

  {49,98}, {其余数}。

  其中第10组中有41个数。在选出的51个数中,第10组的41个数全部选中,还有10个数从前9组中选,必有两数属于同一组,这一组中的任意两个数,一个是另一个的倍数。

  (3)将选出的51个数排成一列:

  a1,a2,a3,…,a51。

  考虑下面的51个和:

  a1,a1+a2,a1+a2+a3,…,

  a1+a2+a3+…+a51。

  若这51个和中有一个是51的倍数,则结论显然成立;若这51个和中没有一个是51的倍数,则将它们除以51,余数只能是1,2,…,50中的一个,故必然有两个的余数是相同的,这两个和的差是51的倍数,而这个差显然是这51个数(a1,a2, a3,…,a51)中的一个数或若干个数的和。

  5.证:(1)在其余4列中如有一列含有3个白格,则剩下的5个白格要放入3列中,将3列表格看做3个抽屉,5个白格看做5个苹果,根据第二抽屉原理,5(=2×3-1)个苹果放入3个抽屉,则必有1个抽屉至多只有(2-1)个苹果,即必有1列只含1个白格,也就是说除了原来3列只含一个白格外还有1列含1个白格,这与题设只有1个白格的列只有3列矛盾。所以不会有1列有3个白格,当然也不能再有1列只有1个白格。推知其余4列每列恰好有2个白格。

  (2)假设只含1个白格的列有2列,那么剩下的9个白格要放入5列中,而9=2×5-1,由第二抽屉原理知,必有1列至多只有2-1=1(个)白格,与假设只有2列每列只1个白格矛盾。所以只有1个白格的列至少有3列。

  6.能。

  解:开会的“人次”有 40×10=400(人次)。设委员人数为N,将“人次”看做苹果,以委员人数作为抽屉。

  若N≤60,则由抽屉原理知至少有一个委员开了7次(或更多次)会。但由已知条件知没有一个人与这位委员同开过两次(或更多次)的会,故他所参加的每一次会的另外9个人是不相同的,从而至少有 7×9=63(个)委员,这与N≤60的假定矛盾。所以,N应大于60。

  7.20轮。

  解:如果培训的总轮数少于20,那么在每一台机器上可进行工作的工人果这3个工人某一天都没有到车间来,那么这台机器就不能开动,整个流水线就不能工作。故培训的总轮数不能少于20。

  另一方面,只要进行20轮培训就够了。对3名工人进行全能性培训,训练他们会开每一台机器;而对其余5名工人,每人只培训一轮,让他们每人能开动一台机器。这个方案实施后,不论哪5名工人上班,流水线总能工作。

  8.证:以平面上9个点A1,A2,…,A9表示9个数学家,如果两人能通话,就把表示他们的两点联线,并涂上一种颜色(不同的语言涂上不同颜色)。此时有两种情况:

  (1)9点中有任意2点都有联线,并涂了相应的颜色。于是从某一点A1出发,分别与A2,A3,…,A9联线,又据题意,每人至多能讲3种语言,因此A1A2,A1A3,…,A1A9中至多只能涂3种不同的颜色,由抽屉原理知,这8条线段中至少有2条同色的线段。不妨设A1A2与A1A3是同色线段,因此A1,A2,A3这3点表示的3名数学家可用同一种语言通话。

  (2)9点中至少有2点不联线,不妨设是A1与A2不联线。由于每3人中至少有两人能通话,因此从A1与A2出发至少有7条联线。再由抽屉原理知,其中必有4条联线从A1或A2 出发。不妨设从A1出发,又因A1至多能讲3种语言,所以这4条联线中,至少有2条联线是同色的。若A1A3与A1A4同色,则A1,A3,A4这3点表示的3名数学家可用同一种语言通话。

 



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