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第15讲 最大公约数与最小公倍数


   作者:蓝忠诚 发表时间-9 :20:13  阅读( 25 )| 评论( 0 )

第15讲 最大公约数与最小公倍数

  最大公约数与最小公倍数的知识在实际问题中有着广泛的应用,但这类问题不同于一般的应用题,它的解法比较独特。

  

  

  ,根据“两数的乘积等于这两数的最大公约数与最小公倍数的乘积”,可以求出另一个数。

  【解】15×90÷30=45。

  【例2】一个长方体长2.7米,宽1.8分米,高1.5分米,要把它切成大小相等的正方体木块,不许有剩余,正方体的棱长最大是____分米。

  【分析】把长方体切成大小相等的正方体,不许有剩余,正方体的棱长应是长、宽、高的公约数。现要求正方体的棱长最大,那么棱长是长方体长、宽、高的最大公约数。

  【解】先把单位换算成厘米:长方体的长、宽、高分别是270厘米、18厘米、15厘米。求得270、18、15的最大公约数为3。所以,正方体棱长最大应是3厘米,也就是0.3分米。

  【例3】用长是9厘米,宽是6厘米,高是7厘米的长方体木块叠成一个正方体,至少需要这种长方体木块____块。

  【分析】把若干个长方体叠成正方体,它的棱长应是长方体长、宽、高的公倍数。现要求长方体块数最少,它的棱长应是长方体长、宽、高的最小公倍数。求出了正方体的棱长后,再根据体积关系可以求得长方体块数。

  【解】9、6、7的最小公倍数是126,所以叠成的正方体边长应是126的倍数,至少是126厘米。

  1263÷(9×6×7)

  =5292(块)

  【例4】常青小学六年级有若干人。

  (1)如果3人一行最后余2人,7人一行最后余2人,11人一行最后也余2人,六年级最少有多少人?

  (2)如果3人一行余1人,7人一行余5人,11人一行余9人,六年级最少有多少人?

  【分析】(1)如果总人数减少2人,那么总人数是3、7、11的公倍数。现要求六年级最少有多少人,可求得3、7、11的最小公倍数,再加上2人;

  (2)如果总人数加上2人,那么总人数是3、7、11的公倍数。求六年级最少有多少人,可先求得3、7、11的最小公倍数,再减去2。

  【解】3、7、11的最小公倍数为3×7×11=231。

  (1)231+2=233(人);

  (2)231-2=229(人)。

  教练员提示语

  (1)设自然数a、b的最大公约数为m,最小公倍数为 M。那么a=mp,b=mq,p、q为两个互质的自然数。由此可得ab=mM。上述性质可用来帮助解题(如例1)。

  (2)像例2、例3这类题,究竟是求最小公倍数还是求最大公约数,不能简单地认为问题中有“最大”、“最多”就是求最大公约数,如果例2的问题改成“最少”可切成多少块正方体,那么应怎样分析?希望读者在认真分析题意之后,进行恰当的转化。



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