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第14讲 分解质因数的应用


   作者:蓝忠诚 发表时间-22 :1:10  阅读( 22 )| 评论( 0 )

第14讲 分解质因数的应用

  我们数学课本上介绍了分解质因数的方法,是为求最大公约数、最小公倍数服务的。其实,把一个数分解成质因数相乘的形式,能启发我们去寻找解题的突破口。

  【例1】在下面算式的方框内,各填入一个数字,使得□□□×□=1995成立。

  【分析】根据题意,要使一个三位数与一个一位数的积等于1995,那么这两个数的积应与1995有相同的质因数。

  1995=3×5×7×19

  用1995的质因数3、5、7分别作为一位数,可以写出三个满足条件的算式。

  【解】665×3,399×5,285×7。

  【例2】自然数a乘以2376,正好是自然数b的平方。求a的最小值。

  【分析】根据题意,a与2376的积是一个平方数,由于平方数的每个质因数都是偶数个,所以可先把2376分解质因数,再根据a最小的要求,求得a的质因数,使a与2376的相同质因数配成对。

  【解】2376=23×33×11,质因数 2、3都有3个,质因数11有1个,要配对,至少还需2、3、11各1个。所以,a最小是2×3×11=66。

  【例3】用一个两位数除1170,余数是78,求这个两位数。

  【分析】根据题意可知,被除数1170与余数78之差1092应是除数与商之积,所以,可把1092分解质因数,再重新组合这些质因数,写成两数之积,其中大于78的两位数就是所求的。

  【解】1092=23×3×7×13=84×13=91×12

  所求两位数为84或91。

  【例4】小虎用2.16元买了一种小画片,如果每张画片的价钱便宜1分钱,那么他还可以多买3张。问小虎买了多少张画片?

  【分析】根据题意,画片的单价与画片的张数之积应等于216(分),那么它们乘积的质因数应与216相同。可先把216分解质因数,写成两数相乘形式,再根据条件求解。

  【解】216=23×33=8×27=9×24

  显然,216分可买27张8分1张的画片,可买9分1张的画片24张,8分比9分便宜1分,27张比24张多3张,恰好符合条件。所以,小虎买了24张画片。

  教练员提示语

  (1)任何一个自然数N的所有约数的个数的计算方法是:先将N分解质因数,即

  N=Pa×qb×……

  那么N的约数个数为(a+1)×(b+1)×…,比如,60=22×3×5,它的约数个数为(2+1)×(1+1)×(1+1)=12。

  (2)一个平方数有奇数个约数,它的每个质因数都是偶数个。

  (3)小数不能分解质因数。像例4中的2.16元应换算成216分后再分解质因数求解。



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