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第十一讲 不定方程(一)之二


   作者:蓝忠诚 发表时间-8 :55:17  阅读( 14 )| 评论( 0 )

第十一讲 不定方程(一)之二

二、三元一次不定方程组

  先从一个古代问题谈起

  “一百马,一百瓦,大马驮三,中马驮两,两个小马驮一片瓦,最后不剩马和瓦,问有多少大马、中马和小马?”

解:设大马、中马、小马分别有x匹、y匹、z匹。

  由题意可列出方程,由马有100匹

  x+y+z=100 (1)

  由瓦有100片

  

  由(1)(2)组成的三元一次方程组,比起二元一次方程多了一个方程,多了一个未知数,设法消去一个未知数化为二元一次方程,求解后再求出消去的第三个未知数的值

  由(2)得

  6x+4y+z=200 (3)

  (3)-(1)得

  5x+3y=100 (4)

  由(5,3)=1,1|100,(4)有整数解。

  由3y=100-5x

    y为整数,故3|20-x。

  当x依次取2,5,8,11,14,17,20时,y依次得30,25,20,15,10,5,0。

  代入(1)得,z=68,70,72,74,76,78,80。

  即有七组解

  

  不过y=0说明不用中马,作为求正整数解可不考虑。

例4 如果一只兔可换2只鸡,2只兔可换3只鸭,5只兔可换7只鹅,某人用20只兔换得鸡、鸭、鹅共30只,问其中鸡、鸭、鹅各多少只?

解:设鸡、鸭、鹅的数目分别为x、y、z。

  由一只兔可换2只鸡,那么一只鸡可换1/2只兔,二只兔可换3只鸭,那么一只鸭可换2/3只兔,5只兔可换7只鹅,那么一只鹅可换5/7只兔。

  按题意可知

  

  (其中方程(2)表示x只鸡、y只鸭、z只鹅共可换得20只兔)

  (2)可化为 21x+28y+30z=840 (3)

  将(1)化为 21x+21y+21z=630 (4)

  (3)─(4)得 7y+9z=210 (5)

  

  

  

  

  k=2t

  将k=2t代入(7)得

  z=3(2t)+t=7t

  将k=2t,z=7t代入(6)得

  y=30-7t-k

  y=30-7t-2t=30-9t

  将y=30-9t,z=7t代入(1)得

  x=30-y-z

  x=30-(30-9t)-7t

  x=2t

  

  若要求正整数解,需要

    t可取1,2,3。

  当t=1,2,3时,有解

  

  如对原题细心研究,就会发现如下关系:如鸡增加2只,鹅增加7只,鸭减少9只。

  

  

  即并不影响兔仍为20只,这说明如能求出问题的一个解(x、y、z的一组值),将鸡增加2只,鹅增加7只,鸭减少9只后仍是一组解,即x+2,y-9,z+7也是解。

  由于2只兔可换3只鸭,20只兔可换30只鸭,即x=0,y=30,z=0是原方程的一个解。

  那么,x=2,y=21,z=7(鸡增2,鸭减9,鹅增7)

  x=4,y=12,z=14

  x=6,y=3,z=21

  都是原方程组的正整数解,且正整数解只有上面这三组解。



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