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六、分解质因数


   作者:蓝忠诚 发表时间-11 :12:11  阅读( 64 )| 评论( 0 )

六、分解质因数


  小学数学课本第十册在质数、合数与分解质因数这节中,有这样的思考题:60=2×2×3×5,你能从这个式子中知道60除了约数3以外,还有哪些约数吗?另外,首届华罗庚金杯少年数学邀请赛初赛试题的第3题:105的约数共有几个?这些问题都与分解质因数有关,下面来研究与它有关的一些问题.


例1 将下面八个数分成两组(每组四个数),应该怎么分才能保证两组四个数的乘积相等?


  1.4,0.33,3.5,O.3,O.75,0.39,14.3,16.9.


分析与解 此题如果采用试验法做,肯定可以找出答案,但比较费事.下面我们试看用上一讲例4提到的倒着想的方法来考虑这题应如何解.


  如果分法找到了,那么上面八个数中的某四个数的积与另外四个数的积一定相等.当这两个积是小数时,把它们同时都扩大相同的若干倍使它们变成整数,这个等式仍然成立.把等式两边的积分别分解质因数,那么两边的质因数肯定一样,而且相同质因数的个数两边也是相同的.


  为此,先将上面的八个数同时都扩大100倍,得下面八个数:140,33,350,30,75,39,1430,1690.


  把这八个数分别分解质因数:


  140=22×5×7 33=3×11


  350=2×52×7 30=2×3×5


  75=3×5239=3×13


  1430=2×5×11×13
1690=2×5×132


  这八个数分解质因数后一共有6个2,8个5,2个7,4个3,2个11,4个13.为保证两组四个数的积彼此相等,每一组里应该有3个2,4个5,1个7,2个3,1个11,2个13.根据这一要求适当搭配便可找到答案.


  现在按照上面分析的思路,可安排第一组里有1690,33,350,30这四个数,其余四个数算第二组.


  即


  1690×33×350×30=1430×39×140×75


  两边同时缩小相同的若干倍,于是得到下面的一种分法:


  第一组里的四个数为:16.9,0.33,3.5,0.3;


  第二组里的四个数为:14.3,0.39,1.4,0.75.


  除了上面这种分法外,还有其他的分法吗?如果有的话,你能一一找出来吗?


例2 有五个连续的奇数,它们的积为135135,求这五个奇数.


分析与解 相邻两个奇数相差为2,现在已知有五个连续的奇数,当我们假定中间那个奇数为x时,那么从小到大这五个连续的奇数分别为x-4,x-2,x,x+2,x+4.根据条件可得方程


  (x—4)(x—2)x(x+2)(x+4)=135135


  方程虽然列出来了,但我们不会解这个高次方程,只好另寻它途.


  把135135分解质因数:135135=33×5×7×11×13,而11与13正好是两个相邻的奇数,从这一事实出发,只要把33×5×7适当调配一下,便有33×5×7=7×9×15,而7、9、11、13、15正好是相邻的五个奇数,这样就找到了答案.所以这五个连续的奇数为7、9、11、13、15.


例3 问4500共有多少个约数?


分析与解 要想知道4500一共有多少个约数,最原始的办法就是设法将它的约数逐一写出,然后再数一数有多少个就行了.为此,我们先将4500分解质因数:4500=22×32×53.下面用列数阵的方法写出4500的所有约数来.


  首先写出4500的只含有2、3这样质因数的所有约数,添上1这些约数可列成下面的数阵:


  1
3 32


  2
2×3 2×32


  2222×3 22×32


  这个数阵有三列,每列有三个数,所以共有3×3个约数.第二步再写4500的只含有2、3、5这样质因数的所有约数,下面再列一个数阵:


  1
5 5253


  2
2×5 2×522×53


  2222×5 22×5222×53


  3
3×5 3×523×53


  3232×5 32×5232×53


  2×3
2×3×5 2×3×522×3×53


  22×3 22×3×5 22×3×5222×3×53


  2×322×32×5 2×32×522×32×53


  22×322×32×5 22×32×5222×32×53


  这个数阵共9行,每行都有4个约数,所以4500共有(9×4=)36个约数,而36=3×3×4=(2+1)×(2+1)×(3+1).


  这里的2、2、3正好是4500分解质因数式子中质因数2、3、5的个数(指数),从而可得到下面关于求约数个数的一个重要结论:


一个大于1的整数的约数个数,等于它的质因数分解式中每个质因数的个数(指数)加1的连乘积.


  利用这个结论便能求出结果来.


  因为4500=22×32×53,而(2+1)×(2+1)×(3+1)=36,所以4500一共有36个约数.


例4 求小于100的只有8个约数的一切自然数.


分析与解 这个问题可先将1至100之间的合数逐一写出,然后一个一个地检验,看看这些合数中哪些数正好只有8个约数,记下这些数便可找出满足要求的一切自然数来.但是当数从100变为其他更大的数时,这种逐个检验的方法就显得十分麻烦,下面介绍更有效的一般方法.


  例3指出:一个大于1的整数的约数的个数,等于它的质因数分解式中每个质因数的个数(指数)加1的连乘积.这里约数个数为8,而8=2×4=2×2×2=8×1.下面分别讨论.


  当8=2×4=(1+1)×(3+1)时,说明所求的自然数分解质因数后,只有两个不同的质因数,它们的个数(指数)分别为1和3.下面求这两个不同的质因数各等于几时,对应的那个自然数不大于100.


  如果这两个质因数中有一个为2,它的指数为1.


  当另一个质因数为3时,这个自然数为:2×33=54,54小于100,是满足要求的一个解.


  当另一个质因数为5时,这个自然数为:2×53=250,250大于100,不符合要求.


  因为53=125>100,所以当1个质因数为2,它的指数为1,另一个质因数为大于5的任一质因数时,对应的自然数一定大于100,均不符合要求.


  如果这两个质因数中有一个是3,它的指数为1.


  当另一个质因数为2时,这个自然数为:31×23=24,24小于100,符合要求.


  因为2×53=250>100,所以其他情况对应的自然数一定大于100,不符合要求.


  如果这两个质因数中有一个是5,它的指数为1.


  当另一个质因数为2时,这个自然数为:5×23=40,40小于100,符合要求.


  当另一个质因数为3时,这个自然数为:5×33=135,135大于100,不符合要求.


  如果这两个质因数中有一个是7,它的指数为1.此时另一个质因数只能是2,这个自然数为:7×23=56<100,符合要求,而7×33=189>100,不符合要求.


  如果这两个质因数中有一个是11,它的指数为1,那么另一个质因数只能是2,这时这个自然数为:11×23=88<100,符合要求.而11×33=297>100,不符合要求.


  如果这两个质因数中有一个是13,它的指数为1,那么另一个质因数不论是几,所求出的自然数都不符合要求.这是因为13×23=104,104>100,不符合要求.


  当8=2×2×2=(1+1)×(1+1)×(1+1)时,此时所求的自然数分解质因数后,只有三个不同的质因数,它们的指数都是1.下面从小到大依次看看这三个不同的质因数分别为多少时,所求的自然数符合要求.


  当三个不同的质因数分别为2、3、5时,这个自然数为:2×3×5=30,30小于100,符合要求.


  当三个不同的质因数分别为2、3、7时,这个自然数为:2×3×7=42,42小于100,符合要求.


  当三个不同的质因数分别为2、3、11时,这个自然数为:2×3×11=66,66小于100,符合要求.


  当三个不同的质因数分别为2、3、13时,这个自然数为:2×3×13=78,78小于100,符合要求.


  当三个不同的质因数分别为2、3、17时,这个自然数为:2×3×17=102,102大于100,不符合要求.


  当三个不同的质因数分别为2、5、7时,这个自然数为:2×5×7=70,70小于100,符合要求.


  当三个不同的质因数分别为2、5、11时,这个自然数为:2×5×11=110,110大于100,不符合要求.


  当三个不同的质因数分别为3、5、7时,这个自然数为:3×5×7=105,105大于100,不符合要求.


  其余情况下所求自然数均大于100,不符合要求.


  当8=8×1=(7+1)×(0+1)时,这说明所求的自然数分解质因数后,只有一个质因数,它的指数为7.而27=128,128大于100,不符合要求.所以其余情况下所求的自然数也一定都大于100,不符合要求.


  所有小于100只有八个约数的自然数共有十个,分别为:24,30,40,42,54,56,66,70,78,88.


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