运动,不是生活的全部,但是生活的最高处
                     运动,不是生活的全部,但是生活的最高处

区空间  校空间  我的主页    照片   好友[文章  收藏   评论   留言     最新阅读     推荐文章 

自行车/6 |  游泳/19 |  奥数教材(转载)/23 |  我的学生/3 |  生活与保健/3 |  个人收藏/12 |  跑步/6 |  力量训练/3 |  奥数竞赛(转载)/6 |  羽毛球/2 | 
本博客空间统计:   8885 篇文章   72 个评论


博主说明:教师
姓名:蓝忠诚
学校:罗芳小学
空间等级:53 >
现有积分:50967
距离下一等级:1033分
空间排名:教师类 第13

 
最新文章
 
人最重要的能力是什么?
2021放假安排来了!
练 习12
十二 和倍、差倍问题
最难得的高情商,是听人把话说完
练习11解答
 
随机阅读
 
人最重要的能力是什么?
2021放假安排来了!
练 习12
十二 和倍、差倍问题
忆已故的父母
最难得的高情商,是听人把话说完
 
推荐文章
 
参加2017年深圳市“体彩杯”成人游泳锦.
2014年夏游记录
2012-2013年度冬泳记录

5月
14 2019
 

第四讲 奇妙的方格表(之二)


   作者:蓝忠诚 发表时间-8 :35:54  阅读( 31 )| 评论( 0 )

第四讲奇妙的方格表(之二)


三、抽屉原理


  例6能否在8×8的方格表的每个方格中写上0、1、2中的一个数,使每行、每列以及两条对角线上各数之和都互不相等?


  解:8行、8列及两条对角线共有18个和数,将这18个和数作为“苹果”.8个数(每个数是0、1、2中的一个)的和最小是0,最大是16,共有17种不同的和,将这17个不同的和作为“抽屉”.根据抽屉原理,必有一个“抽屉”中存在2个或2个以上的“苹果”,这就是说,在18个和数中至少有2个相等,不可能都互不相等.


  例7在5×5的方格表中,任意挖去一个方格后,是否总能用8个


 


  解法1:如右图,将5×5的方格表挖去一格(阴影)后,剩下的24 住a格,需要用一个L形盖住a、d、e或a、b、c三格,由于两边对称,不妨设盖住a、b、c三格,这样,x格就不可能被任何一个L形盖住(否则就重叠了),所以这24格不可能被完全盖住.



  解法 2:如图,标上“×”的格共有 9个,如果挖去的一格不是标上“×”的格,那么剩下的24格不可能被8个L形盖住.这是因为任意两个“×”格不可能被同一个L形盖住,这9个“×”格若都能被盖住,至少需要9个L形,因此不能用8个L形盖住剩下的24格.


  说明:解法1虽然很简单,但要想到这种解法,需要做多次试验(当挖去的一格在某些位置时,题目的要求是可以成立的).解法2实际上用了抽屉原理,“×”格看作“苹果”,8个L形看成“抽屉”.用抽屉原理的关键是要设计好“抽屉”和“苹果”.


四、分类、试验、递推、寻求规律


  


  例8在4×4的方格表中任意挖去一格,是否总能用5个


  分析对于4×4的方格表,由挖去一格的位置不同,可分三种情况讨论.这种分类讨论的方法,对于4×4的方格表来说,由于试验次数较少,还比较容易得到结论.但对于8×8的方格表,需要分10种情况,分别去试验;对于16×16的方格表,则需要分36种情况.对于每种情况,由于表格较大,试验起来也很繁琐.如果运用数学上称为“递推”的方法,问题就简单得多了,不仅能轻易地解决8×8、16×16的方格表的问题,还能解决 32×32、64×64、…等方格表中的类似问题.


  解法1:对于4×4的方格表,由挖去一格的不同位置,可分三种情况,每种情况都能运用5个L形盖住,因此在4×4的方格表中任意挖去一格,总能用5个L形盖住(如下图).



  对于8×8及16×16的方格表,由于分类情况较多,这里从略.


  解法2:先考虑2×2的方格表,任意挖去一格,剩下3格总是恰好能用1个L形盖住.


  对于4×4的方格表,挖去的一格总在某个角上的2×2小方格表内,不妨设在左上角,那么左上角的2×2小方格表中剩下3格能用1个L形盖住.在右上、右下、左下的3个2×2方格表中,先各挖去靠中间的一格(如图),剩下的各能用1个L形盖住,而挖去的3格也恰能用1个L形盖住.



  对于8×8的方格表,挖去的一格总在某个角上的4×4方格表内,不妨设在左上角,那么左上角剩下的部分总能用5个L形盖住.在右上、右下、左下的3个4×4方格表中,先各挖去靠中央的一格(如右图),由上述结论,各4×4方格表中剩下部分总能分别用5个L形盖住.而挖去的3格也恰能用1个L形盖住,所以,8×8方格表中任意挖去一格,总能用21个L形完全盖住.



  同样,对于16×16的方格表,任意挖去一格后,总可以用85个L形完全盖住.


  例9在一个6×6的方格表中,任选5个方格涂黑,然后再逐步将凡是与两个或两个以上黑格相邻的方格涂黑,不断按这个法则做下去,证明:无论怎样选择最初的5个方格,都不可能按这样的法则将所有方格全部涂黑.



  分析先试验一下,在上图的方格表中选5格涂黑,然后按给定法则涂黑另一些格,直到上图(4),已无法再将其余的方格涂黑.如果改变最初5格的位置,虽然最后涂黑的部分会不同,但都不能将所有方格全部涂黑.为了证明这一结论,如果将最初5格的不同位置一一列举出来,再逐个证明,当然也是可以的(这种方法叫枚举法),不过过于繁琐.因此,应该在试验中寻求规律,不被表面现象迷惑.


  证明:考虑涂黑过程中黑色区域的周界总长度.设小方格的边长为1,则开始有5个黑格,黑色区域总长度不大于20.按照题设的涂黑法则,每格在涂黑前后,黑色区域的周界不会变长(此方格至少有两边是原来黑色区域的周界,当此格涂黑后,这两边已不再是边界,而另两边可能成为边界).如果能将所有方格都涂黑,那么黑色边界的总长度应为24,由以上分析,这是不可能的,因此,无论怎样选择最初的5个方格,都不可能按照题设的法则将全部方格涂黑.


上一篇文章:第四讲 奇妙的方格表(之一)    下一篇文章:习题四



个人空间评论从2017年1月起采用实名制: