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第四讲 奇妙的方格表(之一)


   作者:蓝忠诚 发表时间-8 :26:45  阅读( 31 )| 评论( 0 )

第四讲奇妙的方格表(之一)


  方格表是人们最熟悉最简单的图形之一,但这个简单的图形却可以说是一个广阔的数学天地,其中包含着许许多多奇妙的数学问题.许多问题看起来非常简单非常有趣,但却要用到许多数学方法,蕴含着许多深刻的道理.这些方法和道理在我们以后的学习中将经常用到.


一、计数问题


 


  例1 下图中共有多少个矩形?





  分析如果直接数,很容易遗漏或者重复.为了避免遗漏或重复,可以将图形中的各种矩形按形状大小分类,分别计数后再相加.在分类计数中如果能发现规律,那就更简单了.


  解法1:在已知的方格表中,“□”共有5×3=15个,“□□”共有4×3=12个,“□□□”共有3×3=9个,…如此进行下去,把各类矩形的个数相加,可得矩形总数为90个.


  解法2:将各类矩形列出表来(如下页图),分析各类矩形个数的算式,很容易发现规律,于是可得矩形总个数为:(1+2+3+4+5)×(3+2+1)=90个.


   






 格组成的正方形中都含有4个L形.因此为了求L形的个数,只需先求“田”字形的个数.
  解:在上页的方格表的第1、2行中含有“田”字形 4个,第2、3行中也含4个,共有“田”字形8个,每个“田”字形对应4个L形,因此共有L形4×8=32个.


  说明:计数最基本的方法是分类讨论.如果在分类讨论中发现规律,就可以改进算法.例2中的计数方法利用了对应的思想.当直接计算某一事物的个数有困难时,往往可以先转化成计算另一事物的个数,然后再研究这两个数,可以先计算2×3的矩形共有多少个,然后由每个2×3的矩形中都10×4=40个.在例1中计算矩形个数还有一些更高明的方法,这些方法将在中学里学到.






8×8的方格表,结果如何?


  解:如图,在4×4的方格表中放下3个L形,即不能再放下一个L形了.





  如果只放了两个L形,那么可以证明总还能再放下一个L形.因为每个“田”字形内至少盖住两格后才不再能放下L形,而4×4的方格表中共有4个不相重叠的“田”字形,至少应盖住2×4=8格后,才不再能放一个L形,如果只放了两个L形,仅仅盖住6格,所以总还能再放一个L形.


  从以上两步,可以看出4×4的方格表中至少放上3个L形后,才能使这一表中不再能放下一个L形.


  在6×6的方格表中有9个不相重叠的“田”字形,每个“田”字形至少盖住两格,才不再能放下一个L形,这样至少应盖住18格,也就是至少要放上6个L形.如右图,已放了6个L形,确实已不能再放下一个L形了,因此6个是最少的数目.







  用同样的方法可以得到在8×8的方格表中至少放上11个L形后,就不再能放下一个L形了.


二、染色方法


  


  染色方法实际上是一种分类方法,不过对有些问题来说,通过染色能使问题比较直观,解决起来更方便.


  例4如图是半张象棋盘,一只马能否从A处出发,跳遍半张象棋盘而使每个格点只经过一次?





  解:把半张象棋盘的格点(共45个)相间地涂上黑、白两色(黑色用“×”表示,如图共有22个黑点,23个白点.按照马走步的规则,每步走“日”字的对角线,不论马在何处也不论往哪个方向跳,起点和终点的颜色总是不同的.由于A处是黑格点,如果马从A处出发跳遍每个格点且每个格点只经过一次,那么需经过21个黑点,23个白点,黑、白格点数相差2,故这样的走法是不可能的.


  例5正方体形的房子共分27个小房间,每相邻两个房间都有门相通(上、下两间也有门相通).每个房间里都有一块奶酪,右下角的房间有一门通向外面.一只耗子从最中间的房间出发,想走遍各个房间,且每个房间只经过一次,最后从右下角出来,这样是可否能?如果可能,该怎么走?





  解:将27个小正方体相间染成黑、白两色(如图),共13个房黑间,14个白房间,中间房间是黑色.如果从中间房间出发,每个房间经过一次,共需经过12个黑房间(除中间房间外)、14个白房间.但是与黑房间相邻的都是白房间,与白房间相邻的都是黑房间,路线只能是:黑—白—黑—白…这是不可能实现的.


  如果改从任一个(不是右下角的)白房间出发,就能达到目的.请自己设计路线

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